ATPS - Etapa 4

Etapa 4 - Aula tema: Função Exponencial

Passo 1:

Ler as informações relacionadas abaixo, para resolver as solicitações dos próximos passos.

Para todos os participantes do grêmio de funcionários é descontado 1% de seu salário mensal como contribuição. Dentre diversas vantagens o colaborador participante do grêmio tem acesso a empréstimos em um banco parceiro que ofereceu, para escolha de sua equipe, duas opções de taxas:

1ª) Taxa de 4,4% ao mês, a juros simples.

2ª) Taxa de 1,75% ao mês, a juros compostos.

Outra excelente vantagem é uma bonificação anual dada aos motoristas de carretas, proporcional a 1,5% do valor atual dos veículos.

Passo 2:

1. Definir uma função que descreva Montante a ser pago em função do tempo de empréstimo para cada modalidade oferecida e calcular, para um empréstimo de R$10.000,00 o montante a ser pago ao final de quatro meses em cada opção dada. Demonstrar, para quatro meses, em quantos reais os juros cobrados na melhor modalidade serão menores do que os cobrados na outra modalidade.

1ª Opção:

2ª Opção:

A melhor modalidade é a 2ª opção (juros compostos de 1,75% a.m)

Os juros cobrados serão menores em R$1.041,00.

2. Definir a melhor modalidade a ser escolhida em função do número de meses t no intervalo de 1<=t<=42. Anotar todo o processo de resolução e os resultados obtidos.

A melhor modalidade é a 2ª opção (juros compostos de 1,75% a.m).

Passo 3:

Calcular o valor de bonificação total dada aos motoristas de carreta sabendo que cada carreta foi comprada há 3 anos por R$150.000,00 e que anualmente este equipamento sofre depreciação de 15,2%.

Bonificação anual dada aos motoristas de carretas, proporcional a 1,5% do valor atual dos veículos.

Cálculo da bonificação:

São 15 carretas, então 15 motoristas:

O valor de bonificação total dada aos motoristas de carreta é:

R$1.908,00 x 15 = R$28.620,00.

Revisando Funções de 1º grau - Aula 20/10

 

Voltamos ao primeiro capítulo para revisarmos alguns exercícios de Função de 1º Grau.

Para compreendermos melhor, colocamos um vídeo bem dinâmico.

E abaixo alguns exercícios executados em sala de aula.

ATPS Etapa 3

Etapa 3 - Aula tema: Função do 2° grau

Passo 1

Analisar as informações abaixo, relacionadas à empresa:

"O lucro L obtido pela empresa na venda de um adubo específico é em função do preço X cobrado." 

Se x for um número muito pequeno, o lucro é negativo, ou seja, a empresa terá prejuízo. Se x for um número muito grande, o lucro também será negativo, pois poucas pessoas adquirirão o adubo dessa empresa. A matriz da empresa, estudando a situação, deduziu a fórmula pra L em função de X:

L= -x² + 90x - 1400. (L e x em unidades monetárias convenientes)


Passo 2

1. Discutir e demonstrar por meio de cálculos se haverá lucro se o preço for x = 20 e se o preço for x = 70.

Se o preço for x = 20, temos:

L = -20² + 90. (20) - 1400

L = -400 + 1800 - 1400

L = -1800 + 1800

L = 0

Se o preço for x = 70, temos:

L= -70² + 90.(70)-1400

L= -4900 + 6300 - 1400

L=-6300 + 6300

L= 0

Pela fórmula dada, o lucro "L" obtido será "zero" tanto para o preço cobrado de 20 ou de 70.

2. Explicar o que acontecerá quando x = 100

Se o preço for x = 100, temos:

L = -100² + 90. (100) - 1400

L= -10000 + 9000 -1400

L= -11400 + 9000

L = -2400

Se o preço cobrado for 100, haverá um prejuízo de R$2.400,00.

Gráfico dessa função 

Passo 3 

Definir quanto a empresa deverá cobrar (moeda vigente) para ter lucro máximo? Qual é esse lucro máximo?

Para se definir o preço a cobrar para que tenha o lucro o máximo e qual é esse lucro é necessário calcular Vértice da parábola do gráfico:

O vértice dessa parábola representa o ponto máximo da função, já que é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente A é menor que zero.

(a=-1)

Se a função L = x² + 90X - 1400.

Temos os coeficientes: a = -1, b = 90 e C = -1400

Temos então:

Conclui-se que o preço a ser cobrado para se ter o lucro máximo é de R$45,00 e o lucro máximo obtido é de R$625,00.

Livro Texto da disciplina:
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade. 2ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012. PLT 622.

Exercícios de Parábola? Revise.

Ei Amigo, revise também Parábola ;D

Introdução

Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição, obterá a seguinte definição para a parábola:
"Curva plana, cujos pontos são equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."

Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição absoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a eles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições matemáticas).

Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:(y - y0)2 = 2p(x-x0)

Parábola de eixo vertical e vértice na origem

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x2 = 2py

Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)

Exercícios resolvidos

1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x \ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 \ y2 = 8(x-2) \ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.

3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 \ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) \ y2 - 6y + 9 = 16x - 32 \ y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 \ p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1) \ x2 = 12y - 12 \ x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

Exercício proposto

Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2).
Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0

Fonte: Algo Sobre

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ATPS, saiu do forno agora !

ETAPA 1
Passo 1:

Ao analisar os da-dos recebidos no início dos trabalhos de sua equipe foi constatado que existem cerca de 1620 t, distribuídas em sacas de 60 kg, de grãos a serem vendidos no mercado de ações. Um levantamento na bolsa de valores do preço ($) /saca de 60 kg feitos em relação aos dias úteis, do mês em questão, está contido no gráfico abaixo:
R:1620 t/60kg = 27 pacotes 

Passo 2:1. Definir quais são as variáveis dependente e independente nesse contexto. Em seguida, calcular a receita produzida na venda de todo o grão armazenado no 22º dia útil.

As Variáveis dependentes: PreçoAs Variáveis independentes: DiaValor da saca no dia 22: 15
1620 / 60 = 2727 . 15 = R$ 405

2. Definir os intervalos de aumento e diminuição do preço da saca em relação ao tempo (intervalos crescentes e decrescentes) e relacionar com o conceito de demanda (lei da oferta e da procura). 
Crescentes: 
Do dia 1 ao 2
Do dia 4 ao 5 
Do dia 7 ao 10 
Do dia 11 ao 12
Do dia 13 ao 14
Do dia 15 ao 16 
Do dia 17 ao 18 
Do dia 20 ao 21
Decrescentes: 
Do dia 2 ao 4
Do dia 5 ao 7
Do dia 10 ao 11
Do dia 12 ao 13
Do dia 14 ao 15
Do dia 16 ao 17 
Do dia 18 ao 19
Do dia 21 ao 22
Demanda maior: dia 12
Demanda menor ocorreu nos dias: 4, 7 e 11.


Passo 3:
Definir os dias, para o intervalo dado no gráfico, em que esta função-preço está limitada superiormente e inferiormente.Calcular a diferença entre quanto à empresa teria recebido (receita), em $, no limite superior e no limite inferior, ao vender todo o grão que se encontra armazenado.
Limitado superiormente dia 12
Limitado inferiormente dia 4, 7 e 11
Limite superior 20 . 27 = 540
Limite Inferior 14 . 27 = 378
Calculo da diferença de quanto à empresa teria recebido.
540 - 378 = 162

ETAPA 2

Passo 1:

Determinar a função correspondente a cada plano sabendo que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas n dentro do período pré–estabelecido.

Plano A f(x) = 140+20n
Plano B f(x) = 110+25n

Passo 2:

Definir em qual situação o Plano A é mais econômico e em qual situação o Plano B é mais econômico.

140+20N < 110+25N
20N-25N < 110-140
-5N < -30
N > 30/5
N > 6

De acordo com o calculo acima, afirmamos que:
O plano A é mais econômico que o plano B quando o numero de consultas for maior que 6.
O plano B se torna mais econômico que o plano A quando o numero de consultas for menor que 6.

Passo 3: 

Definir em qual situação os dois planos se equivalem. Criar uma representação gráfica para todas as situações.
140+20n= 110+25n
20n-25n = 110-140
-5n = -30
n= 30/5
n = 6

Concluímos que os Planos, plano A e plano B, se equivalem quando o numero de consultas for igual a 6.
Representação gráfica,

o valor da receita produzida é 405 da venda de todo grão armazenado no dia 22.

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Função do 2º Grau !

Eae galera, hoje o poste e sobre Função de 2ºGrau.

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?)

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16

2º passo

Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Fonte: Brasil Escola

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Formula de Bhaskara e Delta? Revise.

Sabe o que é Formula de Bharskara e Delta? Revise.

A nome Fórmula de Bhaskara foi dada em homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do século XII.

A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax²+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:

chamamos de discriminante: Δ = b²-4ac

Dependendo do sinal de Δ, temos:

• Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.

• Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes.

• Δ<0, então a equação não tem raízes reais.

a²x²+abx+ac=0
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx+b²+4ac=b²
(2ax)²+2(2ax)b+b²=b²-4ac
(2ax+b)²=b²-4ac

A ideia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja:

ax²+bx+c=0

Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.

Sendo x₁ e x₂ raízes da equação ax²+bx+c=0, então:

S = x₁+x₂ = -b/a

P = x_1.x₂ = c/a

A importância da Fórmula  de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Fisica por exemplo.

Bibliografia:

História da Matemática, Carl B. Boyer.

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